5도권 위의 12음 순환성과 그 대칭적 위상 변화를 사인파로 투영한 시각화
이 작업의 가장 큰 의미는, 5도권을 단순한 조표 암기 도표가 아니라 이산적인 12음 체계와 연속적인 시간·운동을 연결하는 장치로 재정의 하는 것이다. 5도권을 단순한 암기용 원형 도표에서 벗어나, 12개의 이산적(discrete) 음향 상태와 연속적(continuous) 시간·운동을 수학적으로 매개하는 동역학적 모델로 이해해보자는 것이다. 기본적으로 평균율 12음에서 5도 진행은 매번 7반음씩 이동한다. 7과 12가 서로소(coprime) 관계다. 두 수의 약수를 비교해 보면 공약수가 1밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
• 7의 약수: {1, 7} (7은 소수)
• 12의 약수: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• 공약수: 두 집합의 공통 원소는 1이 유일하므로, 최대공약수(GCD)는 1이다.
따라서 $gcd(7, 12) = 1$ 관계에서의 이동은 12개 피치 클래스를 빠짐없이 모두 통과한 뒤 출발점으로 돌아오는 것임을 알 수 있다. 5도권은 원형으로 “그려진” 것이 아니라, 실제로 12개의 상태를 하나의 순환 궤적으로 관통하는 구조를 반영하였기에 전통적으로 '원'으로 표기해 온 것이다. 원은 일정한 곡률을 가지고 자기 자신으로 닫히는 가장 완전한 1차원 다양체다. 12음 체계가 5도 이동을 통해 모든 상태를 빠짐없이 훑고 본래의 중심음으로 귀환하는 주기성($T=12$)을 지니기 때문에, 이를 기하학 평면에 옮겼을 때 필연적으로 '원'이라는 위상학적 궤적으로 표현되는 것이다.
여기서 사인파 투영은 중요한 전환이다. 원 위의 조성들은 여전히 C, G, D처럼 분명히 이산적이지만, 그 조성들을 지나는 경로에는 위상, 속도, 방향, 반복이라는 연속적 성질이 생기며, 이는 다시 말해 음계를 미분음적으로 해체하지 않아도, 조성 이동을 하나의 파동적 흐름으로 이해하기 쉬워진다는 것을 의미한다. 이것은 '삼각형'과 <Tetrahedron>을 표현하는 작업과 자연스럽게 이어진다. 연속적 위치가 꼭짓점·모서리·면이라는 이산적 음악 상태를 선택했다면, 5도권에서는 원 위의 연속 위상이 12개의 조성 중심을 선택하게 되는데, 이렇게 기하학은 장식이 아니라, 음의 양자화와 시간 구조를 결정하는 시각적 악보로 수용되는 것이다.
여기서 이 시각화의 한계를 떠올려보자.
사인파는 5도권 전체가 아니라 그 원을 한 축으로 비춘 반영이다. 같은 사인값을 갖는 서로 다른 조가 존재하므로, 실제 조성 위치는 사인 하나가 아니라 원 위의 전체 위상, 곧 $(\sin\theta,\cos\theta)$로 보존되어야 한다. 그러므로 사인파는 “어느 조인가”를 판정하는 표가 아니라, 조성의 운동을 읽는 곡선이다. 그 사이에는 무엇이 있을까? 이는 앞으로의 작업을 통해 발견될지도 모르겠다.
나는 전통 음계의 12개 상태를 해체하지 않고, 그 순환적 대칭을 위상과 투영의 언어로 다시 표현하고자 한다. 여기서 현대성은 음계를 버리는 데 있지 않고, 익숙한 음계가 움직이고 간섭하며 귀환하는 방식을 즉, 음악이 표현되고 생성되는 조건을 새롭게 만드는 데 있다고 보는 것이다.
이 시각화에서 보여주는 "5도권 원 그래프와 우측 사인 곡선"은 직각삼각형의 닮음과 삼각비에서 출발하여 현대 수학의 삼각함수로 이어지는 기하학적 매핑을 시각적으로 표현한 것이다.
1. 직각삼각형에서의 삼각비
원점(원의 중심) 𝑂(174,178)
원 위를 움직이는 현재 조성 점 𝑃
수평선(가로 중심축)으로 내린 수선의 발 𝐻
직각삼각형 𝑂𝑃𝐻 를 구성
빗변 (Hypotenuse, 𝑅 ): 원의 반지름 - 원의 중심에서 점 𝑃 까지의 거리로, 언제나 일정.
밑변 (Base, 𝑥 ): 가로축 위 원점에서 수선의 발까지의 실시간 거리( 𝑥=𝑅cos(𝜃) 혹은 기준 설정에 따라 𝑅sin(𝜃) ).
높이 (Height, 𝑦 ): 수직 높이 차이.
2. 원 운동과 삼각함수의 연결
음악의 12조성이 순환하는 원 운동은 시간에 따라 회전하는 각도 𝜃 의 변화로 치환된다. 진행 변수 𝑡가 연속적으로 변함에 따라 원 내부의 직각삼각형 변들의 길이가 유기적으로 변한다. 이때 밑변의 길이 𝑥 는 최대치(𝑅)와 최소치(−𝑅)를 주기적으로 오고 가는 단진동(Simple Harmonic Motion)을 겪는다. 이 밑변의 길이 변화를 가로축 시간선(𝑡)을 따라 그대로 투영하여 오른쪽에 펼치면 사인 곡선(Sine Wave)이 나타난다. 5도권 관계를 자연계의 파동, 삼각함수, 삼각형의 기하학적 정의와 연결하여 즉흥연주에 반영해보는 것이다.
3. 이를 통해 다음과 같은 의도를 반영한다
삼각비와 직각삼각형의 동적 생성: 코드 내부에서는 원점 $(cx, cy)$과 원 위의 점, 그리고 수평축 투영점을 잇는 동적 직각삼각형(fifth-triangle)이 나온다. 이때 반지름 $R$을 빗변으로 삼아 수평 방향 밑변의 길이인 $x(t) = R \sin(\pi t / 6)$를 추출한다.
이산에서 연속으로의 패러다임 전환: 음악적으로 C, G, D 등의 조성은 뚜렷하게 구별되는 이산적 지점들이다. 하지만 슬라이더로 $t$가 연속적으로 미끄러지듯 이동하도록 시각화 한 점에서 강조되듯, 조성 간 전조는 도약이 아니라 위상(Phase), 속도(Velocity), 방향(Direction)을 지닌 유기적 파동화로 이해하는 방법도 있다고 보는 것이다.
미분음 없이 파동화: 조성의 연속성을 확보하기 위해 음계를 1/4음이나 1/8음 같은 미분음(Microtone)을 사용하지 않는다. '미분음'을 사용한다고 해도, 우리가 수학적으로 연속된 파형을 '미분'하듯 이산적 접근을 할 수도 있다는 점에서 상황을 복잡하게 만들 뿐이다. 나는 미분음에 의미를 부여하지 않는다. 음악가가 자유롭게 그 사용을 선택하도록 할 뿐이다.
이처럼 생각의 전환을 통해 12개의 전통적 조성 중심을 원 위의 이산적 정점(Integer tick: $t = 0, 1, 2, \dots, 11$)으로 온전히 보존하면서도, 그 사이를 오가는 전조의 긴장과 이완을 파동의 진폭 및 기울기로 직관화할 수 있다.
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